一、标准积分形式 #
积分是微积分中的逆运算，以下是常见函数的标准积分形式：
1. 幂函数的积分 #
$$ \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $$
2. 指数函数的积分 #
$$ \int e^x , dx = e^x + C $$ $$ \int a^x , dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1) $$
3. 对数函数的积分 #
$$ \int \ln x , dx = x \ln x - x + C \quad (x > 0) $$
4. 三角函数的积分 #
$$ \int \sin x , dx = -\cos x + C $$ $$ \int \cos x , dx = \sin x + C $$ $$ \int \sec^2 x , dx = \tan x + C $$ $$ \int \csc^2 x , dx = -\cot x + C $$ $$ \int \sec x \tan x , dx = \sec x + C $$ $$ \int \csc x \cot x , dx = -\csc x + C $$
5. 双曲函数的积分 #
$$ \int \sinh x , dx = \cosh x + C $$ $$ \int \cosh x , dx = \sinh x + C $$ $$ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} , dx = \arcsin x + C $$ $$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} , dx = \ln|x + \sqrt{x^2 - 1}| + C $$
二、标准求导形式 #
求导是函数变化率的数学表示，以下是常见函数的标准求导形式：
1. 幂函数的求导 #
$$ \frac{d}{dx} \left( x^n \right) = n x^{n-1} $$
2. 指数函数的求导 #
$$ \frac{d}{dx} \left( e^x \right) = e^x $$ $$ \frac{d}{dx} \left( a^x \right) = a^x \ln a $$
3. 对数函数的求导 #
$$ \frac{d}{dx} \left( \ln x \right) = \frac{1}{x} \quad (x > 0) $$ $$ \frac{d}{dx} \left( \log_a x \right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0, a \neq 1) $$
4. 三角函数的求导 #
$$ \frac{d}{dx} \left( \sin x \right) = \cos x $$ $$ \frac{d}{dx} \left( \cos x \right) = -\sin x $$ $$ \frac{d}{dx} \left( \tan x \right) = \sec^2 x $$ $$ \frac{d}{dx} \left( \cot x \right) = -\csc^2 x $$ $$ \frac{d}{dx} \left( \sec x \right) = \sec x \tan x $$ $$ \frac{d}{dx} \left( \csc x \right) = -\csc x \cot x $$
5. 双曲函数的求导 #
$$ \frac{d}{dx} \left( \sinh x \right) = \cosh x $$ $$ \frac{d}{dx} \left( \cosh x \right) = \sinh x $$
三、备注 #
- 积分公式中 ( C ) 表示积分常数。
- 以上公式假设函数在其定义域内是连续的。
- 应注意积分和求导在实际应用中的结合，如验证积分结果是否正确等。
公式速查： 在复习时可以快速对照上述常见公式以提升计算效率。